Do you know how to count?

 

How many different triads in positive integers equal 100? (no repetitions among the numbers of a triad),

a problem proposed from the twitter account @AfarBell.

 Is there an algorithm to count it? Or a specific pattern so there’s no need to write down every single triad?

 

The idea is to count in a right way, avoid repetitions and not to miss a triad! Particularly, in this problem the point is to have a fixed number and two boundaries, the imin and the imax where among them numbers are moved but at the same time they’re always equal. There is also a number, I named it, bubble number, due to the fact to avoid a triad of the form n,m,n, there’s a number that appears twice, so instead of letting that happen I put that number n in a “bubble” so it is inactive for a specific counting.

So, to avoid repetitions in my counting (like count a triad twice), I always start with a fixed number, for example, 1, then I count all the combinations of the triads that have the number 1 in it. So I actually break the problem into pieces. I have my fixed number, then I start with the following number 2, and so the last number of the triad will necessarily be 97. Then continue at 3 and so on. I stop at 49, the reason is that I always want my second number of the triad (imin) to be smaller than the third (imax), just to keep track of counting.

The bubble numbers appear only if the fixed number is even, due to the fact that there’s a triad of the form 2k, m, m, like 4, 48, 48, and we don’t want that triad. However, in order not to miss a number, I put it as a bubble number, so I don’t forget any of them.

Finally, at the imax, there’s a subtraction of 2 every time from the biggest number, and that is controlled from the first number of imin in order the sum always to be 100.

So eventually adding all the totals of every counting we get eventually 784 triads.

 

Fixed Number               imin                      imax                    total             Bubble number

1                                         2,…,49                   50,…,97                48                                          

2                                        3,…,48                    50,…,95                46                               49       

3                                       4,…,48                     49,…,93                45                                            

4                                       5,…,47                     49,…,91                43                               48

5                                       6,…,47                     48,…,89                42                                           

6                                       7,,46                     48,,87                40                               47

7                                       8,…,46                     47,…,85                39                                                  

8                                       9,…,45                      47,…,83               37                               46          

9                                      10,…,45                    46,…,81                36

10                                    11,…,44                    46,…,79                34                                45

11                                    12,…,44                    45,…,77                33                 

12                                    13,…,43                     45,…,75               31                                44

13                                    14,…,43                     44,…,73               30                     

14                                    15,…,42                     44,…,71               28                                43

15                                     16,…,42                     43,…,69              27            

16                                     17,…,41                     43,…,67              25                                 42

17                                     18,…,41                     42,…,65              24       

18                                    19,…,40                     42,…,63               23                                 41

19                                    20,…,40                     41,…,61                21                        

20                                    21,…,39                     41,…,59                19                                40

21                                    22,…,39                     40,…,57                 18

22                                    23,…,38                     40,…,55                 16                                 39

23                                    24,…,38                     39,…,53                 15           

24                                    25,…,37                     39,…,51                 13                                 38

25                                     26,…,37                     38,…,49                12

26                                    27,…,36                     38,…,47                 10                                 37

27                                    28,…,36                     37,…,45                   9                    

28                                     29,…,35                     37,…,43                  7                                   36

29                                     30,…,35                     36,…,41                  6

30                                     31,…,34                     36,…,39                  4                                   35

31                                   32,…,34                     35,…,37                    3

32                                        33                               35                          1                                  34